1、函数与极限
函数的概念与性质
理解函数的定义，包括定义域、值域、对应法则等。
掌握常见函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
例如，奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴对称。
学会分析函数的图像，能够通过图像判断函数的性质。
极限的概念与计算
理解极限的定义，包括数列极限和函数极限。
掌握极限的计算方法，如4则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换等。
例如，利用两个重要极限和可以计算1些复杂函数的极限。
能够判断极限的存在性，了解极限的性质。
2、1元函数微分学
导数的概念与计算
理解导数的定义，即函数在某1点的变化率。
掌握导数的计算方法，包括基本函数的导数公式、求导法则如4则运算法则、复合函数求导法则。
例如，对于函数，利用复合函数求导法则，先求外层函数的导数为，再求内层函数的导数为 2，所以的导数为。
能够利用导数的几何意义求曲线在某1点的切线方程。
微分的概念与计算
理解微分的定义，即函数的微小变化量。
掌握微分的计算方法，以及微分与导数的关系。
中值定理与导数的应用
掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论。
能够利用中值定理证明1些等式和不等式。
学会利用导数判断函数的单调性、极值、最值。
例如，当函数的导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
通过求导数为0的点，可以找到函数的极值点。
3、1元函数积分学
不定积分的概念与计算
理解不定积分的定义，即求1个函数的原函数。
掌握不定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
例如，利用换元积分法计算，令，则，原式变为。
学会求简单函数的有理函数积分、3角函数积分等。
定积分的概念与计算
理解定积分的定义，即函数在区间上的积分和的极限。
掌握定积分的计算方法，包括牛顿 莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等。
能够利用定积分求平面图形的面积、旋体的体积等。
例如，求由曲线和直线所围成的平面图形的面积，可以通过定积分计算。
4、多元函数微积分学
多元函数的概念与性质
理解多元函数的定义，包括2元函数、3元函数等。
掌握多元函数的偏导数、全微分的概念和计算方法。
例如，对于函数，求偏导数，。
了解多元函数的极值、最值的求法。
2重积分的概念与计算
理解2重积分的定义，即2元函数在平面区域上的积分。
掌握2重积分的计算方法，包括直角坐标法、极坐标法等。
例如，计算，其中 D 是由轴、轴和直线所围成的区域，可以使用直角坐标法将2重积分化为累次积分进行计算。
5、无穷级数
数项级数的概念与性质
理解数项级数的定义，包括收敛级数和发散级数。
掌握数项级数的收敛判别法，如正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
例如，对于级数，可以使用比较判别法，因为当时，，而级数是收敛的，所以原级数也收敛。
幂级数的概念与性质
理解幂级数的定义，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的求法。
能够将函数展开为幂级数。
6、常微分方程
常微分方程的概念与分类
理解常微分方程的定义，即含有未知函数及其导数的方程。
掌握常微分方程的分类方法，如1阶微分方程、2阶微分方程等。
1阶微分方程的求解
掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、1阶线性微分方程的求解方法。
例如，对于方程，这是1个1阶线性微分方程，可以使用常数变易法求解。
2阶常系数线性微分方程的求解
掌握2阶常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的求解方法。
例如，对于方程，这是1个2阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为，解得2重根，所以方程的通解为。
总之，专本高数的学习内容涵盖了函数与极限、1元函数微分学、1元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程等多个方面。
在学习过程中，要注重理解概念、掌握方法、多做练习，逐步提高自己的数学思维能力和解题能力。
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